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Autor Thema: Ein bißchen Mathe bitte...  (Gelesen 4760 mal)

Offline James

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Ein bißchen Mathe bitte...
« am: 14. November 2007, 13:51:34 »
Ein bißchen Mathe bitte....

Angeregt durch eine Diskussion in einem anderen Thread würde ich gerne mal um Hilfe bitten.
Könnte vielleicht jemand mit Hilfe von Formeln ausdrücken welcher Energieaufwand erforderlich wäre eine Masse m auf einer Bahnebene mit Radius r (vom Erdmittelpunkt) und Winkel Alpha1 auf eine Bahnebene mit unverändertem Radius aber Winkel Alpha2 zu überführen? Also die Bahnebene zu drehen.
Und wie läßt sich daraus bei einem gegebenen Isp eines Triebwerkes auf die erforderliche Treibstoffmasse zurückrechnen?
Auslöser war die (andersthreadig gestellte) rein hypothetische Frage, ob sich Mir-Module an die ISS hätten koppeln lassen.

Auch warum das Shuttle vom Hubble-Orbit nicht in den ISS-Orbit gelangen kann, könnte damit dargelegt werden.

Aber auch die Frage welchen Zusatzaufwand es bedeuten würde, einen Satelliten von z.B. Kourou direkt von der Oberstufe in den Geostationären Orbit zu bringen, dürfte damit zusammenhängen, da damit ja ebenfalls die Bahnebene auf 0 Grad gedreht werden muß. Dies wäre ja durchaus ein Marktvorteil einer solchen Oberstufe (ist die ESC-B nicht schon im Bereich dieser Fähigkeit?)
Leider liegt da der Fall aber möglicherweise komplizierter, da die GTO ja keine Kreisbahn ist, und sicherlich schon während des Aufstieges die Inklination etwas verringert wird.

Aber vielleicht könnte mir zumindest beim ersten Fall jemand behilflich sein.

mit Dank an unsere Experten!
m.f.G., James
« Letzte Änderung: 14. November 2007, 14:15:57 von James »

Offline Schillrich

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #1 am: 14. November 2007, 14:15:48 »
Hallo James,

meinst du also eine Inklinationsänderung, also ein "Kippen" der Bahnebene?

PS:
Ich würde diesem Thread einen aussagekräftigeren Titel geben ...  ::)
\\   //    Grüße
 \\ ///    Daniel

"Failures are ammo in your arsenal, not baggage that weighs you down." (JPL)

Offline James

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #2 am: 14. November 2007, 14:20:02 »
Hallo Daniel

Ja, eine Inklinationsänderung ist gemeint.
Ich dachte der Titel triffts genau.....   sowas... ::)
Ich glaube ich kann den Titel nicht ändern (Energieaufwand für Inklinationsänderung wäre auch denkbar  :))

Gruß und Dank, James

Offline Schillrich

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #3 am: 14. November 2007, 14:31:52 »
Hallo noch Mal,

leider habe ich gerade wenig Zeit und kann keine großen Erklärungen abgeben.
Hier steht eine sehr allgemeine Formel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_inclination_change,
die aber so ohne Erläuterung wahrscheinlich nicht viel bringt.

Ganz allgemein ist aber zu beachten:
  • der delta_v-Bedarf ist das Wichtige. Energetische Betrachtungen machen hier keinen Sinn. Die Orbitenergie ändert sich nicht (Energie = Orbithöhe), da man für eine Inklinationsänderung Schub senkrecht zur Bahnebene/Bewgungsrichtung gibt. Damit ist die verrichtete Arbeit (Energie) Null.
  • Inklinationsmanöver zählen zu den "schlimmsten" Manövern, benötigen also eine Menge delta_v und reduzieren dadurch sehr schnell die Nutzlast. Das ist der Vorteil von Kourou und Sea-Launch für Starts in den geostationären Orbit, da dort nur eine geringe oder gar keine Inklinationsänderung durchgeführt werden muss.
« Letzte Änderung: 14. November 2007, 14:33:06 von Schillrich »
\\   //    Grüße
 \\ ///    Daniel

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Offline roger50

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #4 am: 14. November 2007, 16:18:00 »
Moin moin,

nur kurz: ich befürchte, ihr redet aneinander vorbei: wenn ich von einer Bahn mit Inklination x in eine andere Bahnebene wechseln will, die ebenfalls Inklination x hat, dann ist das keine Inklinationsänderung, sondern eine Drehung der Knotenlinie.

Das wäre ja das Problem mit einem Transfer von MIR zu ISS gewesen: gleiche Inklinationen, aber völlig andere Bahnebene.

Sehe ich das richtig?

Gruß
roger50

Offline James

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #5 am: 14. November 2007, 16:24:35 »
Danke Roger

Vielleicht vermische ich da einfach zwei Dinge die nicht ganz das Selbe sind (Transfer von der MIR zur ISS Bahn und Inklinationsänderung von GTO-Satelliten auf die GEO von Kourou aus), weil ich glaubte das es prinzipiell das Gleiche ist.....
Das heißt man müßte die zwei Fälle getrennt betrachten.

m.f.G.
James

Offline James

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #6 am: 14. November 2007, 17:55:26 »
Hallo

Also, das mit der Drehung der Knotenlinie verstehe ich mal so, das es die Verbindung der beiden Schnittpunkte der Bahnkurven von Ausgangsorbit und Zielorbit sind, welche am Aquator liegen, und somit auf diesem gedreht werden müßte.
Führt das zu einem anderen delta v als eine x-beliebige Inklinationsänderung?

Noch mal zur Inklinationsänderung:
Wenn die Geschwindigkeitsvektoren eh rechtwingelig aufeinander liegen....
Ist dann das delta v das im Schnittpunkt von Ausgangsorbit zum Zielorbit aufgebracht werden muß, schlicht:
delta v = Orbitalgeschwindigkeit * tan(alpha)?
Oder ist das zu einfach betrachtet (ist allerdings eh schon bei kleinen Winkeln eine recht hohe Geschwindigkeit)?
Da fehlt dann noch einiges bis man zur Treibstoffmasse käme....

Hintergrund des ganzen vielleicht noch mal: Wie erklärt man jemand anhand von Zahlen das man es z.B. mit dem Shuttle nicht schafft eine wesentlich andere Bahnebene (wenn auch gleiche Höhe) einzunehmen (also das man nicht so einfach von z.B. Hubblebahnebene auf ISS-Bahnebene wechseln kann).
Dazu wäre es hilfreich, den Treibstoffbedarf überschlagen zu können, woraufhin man dann sehen würde, das der einfach nicht zur Verfügung steht.

Grüße, James


Offline roger50

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #7 am: 14. November 2007, 20:49:36 »
N'abend,

oh je, jetzt wird's mathematisch .... mußte selbst erstmal im Archiv buddeln, hab mich zuletzt vor 20 Jahren damit beschäftigt  ;)

James
Zitat
Führt das zu einem anderen delta v als eine x-beliebige Inklinationsänderung?

Also erst mal ist Dein Verständnis der Knotenlinie korrekt. Zur Frage: ja, es sind ZWEI Inklinationsänderungen. Zunächst der Übergang in eine Transferbahn, deren Knotenlinie mit der Zeilbahn übereinstimmt, dann der Übergang in die Zielbahn. Hab die Formeln nicht parat, handelt sich um sphärische Trigonometrie.

Der Übergang zwischen zwei sich tangierenden Orbits ergibt sich generell zu:

Delta V = Wurzel aus (VN**2 + VA**2 - 2*VN*VA*cos a)

mit:
VN = Soll-Geschwindigkeit in der Zielbahn
VA = Ist-Geschwindigkeit in der Ausgangsbahn
a = Winkel zwischen den Umlaufbahnen

VN und VA ergeben sich aus der sog. Binet'schen Gleichung, mit der man die Geschwindigkeit auf jedem Punkt des orbits berechnen kann:

V = Wurzel aus (Kappa*(2/r - 1/a))

mit:
Kappa = Gravitationsparameter (= 398603 km**3/sec**2  für die Erde)
r = Ortsradius (km) vom Mittelpunkt der Erde
a = Große Halbachse des Orbits (km)

(Bei einer Kreisbahn ist r=a)

Wenn die Geschwindigkeit auf Ausgangsbahn und Zielbahn also gleich sind (reine Inklinationsänderung) wird die erste Formel einfacher:

Delta V = V*Wurzel aus (2*(1-cos a))

Wenn man dann Delta V hat, läßt sich mittels der Raketengrundgleichung leicht der Treibstoffbedarf ermitteln, wenn die Masse der Fahrzeugs und der Isp des Triebwerks bekannt sind.

Ächz, stöhn.... Mathe am Abend....  ;D

Gruß
roger50

« Letzte Änderung: 14. November 2007, 20:52:20 von roger50 »

Cosmo

  • Gast
Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #8 am: 14. November 2007, 22:41:19 »
Hallo James,

Orbitmechanik ist leider sehr komplex und nicht leicht zu erklären und beschreiben. Ich versuche mal ein paar Dinge zu erläutern, auch wenn es sehr mathematisch wird. Roger hat schon einiges sehr gut erklärt.


Knotenlinie und deren Drehung
Die Knotenlinie schaust du dir bitte am besten hier an. Um es etwas zu vereinfachen nimm an das die dargestellte Sonne unsere Erde ist. Dann kannst du annehmen, dass die grüne Ebene die Äquatorebene ist, während blau die Orbitebene von Satelliten/ISS/Shuttle/Hubble darstellt. Der Schnittpunkt dieser beiden Ebenen ist die Knotenlinie. Die Neigung von blauer Ebene gegenüber grüner Ebene ist die Inklination. Dann müssen wir uns die z-Achse der Erde denken: diese beginnt im gelben Punkt, zeigt nach oben und steht senkrecht auf der grünen Ebene (und ist damit  die Polachse welche zum Nordpol zeigt). Um die Knotenlinie zu drehen, kann man nun z.B. die blaue Ebene um die z-Achse drehen und erhält damit eine neue Orbitebene, sagen wir die hat die Farbe rot. Damit dreht sich auch die Knotenlinie in der blauen Ebene und es ändert sich der Winkel gross_omega (Druckbuchstabe). Die Achse mit dem seltsamen "Y" (das ist das Zeichen für den Frühlingspunkt) ist immer fest und zeigt stets in die gleiche Richtung zum Frühlingspunkt).



Zum delta-v Bedarf
Die neue gedrehte rote Orbitebene und die alte blaue Orbitebene schneiden sich ebenfalls in einer Linie. Und an zwei Punkten, den Schnittpunkten der beiden Orbits, können sich die Satelliten begegnen oder auch zusammenprallen (wir nehmen das erstere an). Das heisst, zu einem Zeitpunkt sind die Satelliten von Orbit blau und Orbit rot an der gleichen Position. Wir nehmen weiterhin an, beide Orbits sind kreisförmig und haben den gleichen Abstand zum Erdmittelpunkt. Damit ist die Geschwindigkeit der beiden Satelliten immer konstant und identisch. Und somit auch an der Stelle an welcher sie sich begegnen. Allerdings ist die Richtung verschieden. So könnte es z.B. sein dass sich beide rechtwinklig wie an einer Kreuzung begegnen. Der Winkel zwischen beiden Geschwindigkeiten ist nun entscheidend. Nennen wir den Winkel alpha. Ein Orbit definiert sich also immer aus Positionsvektor und Geschwindkeitsvektor!
Weiterhin sei die ISS der blaue Satellit und das Hubble der rote. Das Shuttle ist beim Hubble auf dem roten Orbit und möchte nun zur ISS auf dem blauen Orbit. Wenn sich Hubble und ISS begegnen, bietet sich nun die Gelegenheit sozusagen "umzudocken".
Das beötigte delta-v ergibt sich aus:
delta-v = 2*sin(alpha/2)*v

wobei v hier die Geschwindigkeit des Shuttles ist und alpha der Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren von Hubble=Shuttle und ISS. Vor dem Manöver ist Vektor(v_Shuttle)=Vektor(v_Hubble) und danach ist Vektor(v_Shuttle)=Vektor(v_ISS). Der absolute Betrag ist von allen drei immer gleich.

Im übrigen ist es egal ob die Knotenlinie gedreht oder die Inklination geändert wird, das delta-v wird davon nicht beeinflusst. Es kommt nur auf Geschwindigkeit und Winkeländerung an.



Kreisbahngeschwindigkeit
Um das zu berechnen benötigen wir den Gravitationsparameter der Erde (mu), welche sich aus der universellen Gravitationskonstante (gamma) und der Masse der Erde (m_Erde) ergibt:
mu=gamma*m_Erde (rund 400000 km3/s2)

Weiter brauchen wir Erdradius (r_Erde = 6378km) und Höhe über der Erdoberfläche (angenommen 9622km). Damit ergibt sich ein Radius von 16000km. Bei einem Kreisorbit ist der Radius des Kreises gleich der grossen Halbachse a:
a = r = r_Erde + Höhe = 6378km + 9622km = 16000km.

Die Kreisbahngeschwindigkeit errechnet sich so:
v_Kreis = Wurzel(mu/a) = Wurzel(400000km3/s2 / 16000km) = Wurzel(25km2/s2) = 5 km/s

Nehmen wir an das ist die Geschwindigkeit von Hubble/ISS/Shuttle. Schneiden sich die Orbits wie vorher beschrieben rechtwinklig (alpha=90°), ergibt sich folgendes delta-v für das Shuttle um den Orbit zu wechseln mit der Formel von weiter oben:
delta-v= 2*sin (alpha/2)*v_Kreis= 2*sin(90°/2)*5km/s = 1.4142*5km/s= 7.071km/s .

Die Geschwindigkeit muss um circa das 1.4-fache der eigenen Geschwindigkeit geändert werden um sozusagen eine 90°-Kurve zu fliegen. Für 180° sind es genau 2*v_Kreis.



Treibstoffverbrauch
Nun wollen wir noch wissen wieviel Treibstoffmasse dafür benötigt wird.
Die Ausströmgeschwindigkeit c_e eines Triebwerks errechnet sich aus dem spezifischen Impuls (i_sp) und der Gravitationsbeschleunigung auf der Erdoberfläche (g=9.81m/s2):
c_e = i_sp * g (also rund 10 * i_sp)

Chemische Triebwerke haben ein c_e von etwa 3000m/s bis 4000m/s, elektrische Triebwerke wie das von SMART1 etwa 16000m/s. Der Treibstoffverbrauch ergibt sich aus der Raketengleichung:
delta-v = c_e * LN(m1 / m2).

m1 ist hier die Masse des Shuttles mit Treibstoffmasse, also vor dem Manöver, und m2 heisst ohne dies Treibstoffmasse, welche beim Manöver verbraucht wird:
m_Treibstoff = m1 - m2.

Die Raketengleichung muss noch umgestellt werden:
m1 = m2*e(delta-v/c_e oder direkt die Treibstoffmasse:
m_Treibstoff = m2 * (e(delta-v/c_e) -1).

Für ein chemisches Triebwerk mit c_e = 3000 m/s und mit einer Leermasse des Shuttles von 100t (=m2) ergibt sich bei einem delta-v von 7071m/s:
m_Treibstoff_chemisch = 100t * (10.56 - 1) = 956t.

Mit elektrischen Triebwerken ergibt sich
m_Treibstoff_elektrisch = 100t * (1.56 - 1) = 56t.

Diese Treibstoffmassen müsste das Shuttle also geladen haben, na ob das alles in die Payloadbay passt?  ;D Die Zahlen sprechen ja für sich.  ;)


In einer zweiten Rechnung wollen wir ermitteln, wieviel Treibstoff an Bord des Shuttle sein müsste, falls der Treibstoff schon in den 100t Masse enthalten ist. Also wieviel Masse hat das Shuttle hinterher, oder wieviel Masse könnte für Nutzlast, Struktur, Astronauten zur Verfügung stehen. Hier ist m1=100t, und wir suchen m2, die Masse danach bzw. m_Treibstoff = m1 - m2:
m_Treibstoff = m1 * ( 1 - 1/ e(delta-v/c_e))

Somit ergibt sich:
m_Treibstoff_chemisch = 100t * (1 - 1/10.56) = 90.53t oder eine Leermasse von m2=9.47t
m_Treibstoff_elektrisch = 100t * (1- 1/1.56) = 35.90t oder eine Leermasse von m2=64.10t

Das Shuttle hat chemische Triebwerke, und müsste somit für dieser Manöver über 90 t Treibstoff geladen haben, bei einer Masse von nur 9.47t für die gesamte Struktur, Antrieb, alle Astronauten, Instrumente usw. plus einer eventuellen Nutzlast. Das Shuttle wäre ein fliegender Treibstofftank.
Mit elektrischen Triebwerken sieht das ganze besser aus, mit nur 35.9t Treibstoff, also etwa 1/3 des Gesamtgewichts. Abgesehen von den Treibstoffmassen müsste dieses Umdockmanöver auch sehr schnell erfolgen, sonst ist das Ziel vorbei geflogen. Der Schub muss sehr hoch sein und errechnet sich vereinfacht so (die Masse ist natürlich nicht konstant):
Schub = Masse * delta-v / delta-Zeit

Mit, sagen wir 10s Triebwerkszünddauer und bei 100t ergibt sich mit einem delta-v von 7071m/s ein benötigter Schub von 70.71MN (Mega-Newton). Ein SSME vom Shuttle, welches 3 solcher Triebwerke hat, liefert etwa 2MN Schub.


Scönen Abend wünscht Cosmo  :)

Offline James

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #9 am: 15. November 2007, 11:24:52 »
Hallo

Also, ich möchte mich bei meinen Vorpostern ganz herzlich für die Mühe die ihr euch gemacht habt bedanken.
Denn es ist ja mit Arbeit und Aufwand verbunden, den Sachverhalt aufzubereiten und darzulegen: Herzlichen Dank.
(Ihr habt was gut bei mir; sollte es, vielleicht im Rahmen einer Veranstaltung dieses Forums, zu einem Treffen kommen, so gebe ich Einen aus; wobei das Zustandekommen dieses Ereignisses real betrachtet unsicher, oder zumindest mit einem längeren Zeithorizont versehen ist; ein langes Gedächtnis habe ich in so einem Fall aber auf alle Falle!) Ich bin noch beim Durchlesen und aufarbeiten der Informationen. Ich habe also heute abend was zum lernen und nachzurechnen. Erstaunlich finde ich z.B. das eine 90°-Kurve überhaupt möglich sein kann, denn der ursprüngliche Geschwindigkeitsvektor "verschwindet" ja bei einer Beschleunigung rechtwinkelig zum "alten" Vektor nicht. Weiters würde ich mich auch freuen bei Unklarheiten weiterhin offene Ohren zu finden (die nächsten Tage eh sicher nicht, da ich mich in die zweite, südtiroler, Heimat begebe).
Ich werde also mich also aufmachen zu Mathe am Abend....   wann den sonst?  :)

Herzlicher Gruß, James
« Letzte Änderung: 15. November 2007, 11:27:10 von James »

Offline Stefan307

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Re: Ein bißchen Mathe bitte...
« Antwort #10 am: 28. Juni 2017, 22:35:51 »
Ich möchte diesen sehr informativen Thread mal ausgraben um mich für die Tollen Erklärungen zu den Grundlagen der Orbitalmechanik zu bedanken
MFG S

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